微分積分例

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = e^{- y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

ステップ 1.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

ステップ 1.3.3.2

$- 1$ を $e^{- y}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

ステップ 1.3.3.3

$- 1 e^{- y}$ を $- e^{- y}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

ステップ 2

$N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $1 - x e^{- y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

ステップ 2.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- e^{- y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- y}$ の微分係数は $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

ステップ 2.4

$0$ から $e^{- y}$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- e^{- y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- e^{- y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- e^{- y} = - e^{- y}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- e^{- y} = - e^{- y}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = e^{- y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.2

総和則では、 $e^{- y} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{- y} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.6

$- 1$ を $e^{- y}$ の左に移動させます。

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.3.7

$- 1 e^{- y}$ を $- e^{- y}$ に書き換えます。

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

ステップ 8.5.2

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺に $x e^{- y}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

ステップ 9.1.2

$1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$- x e^{- y}$ と $x e^{- y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

ステップ 9.1.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 1$

ステップ 10

$1$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 1$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int d y$

ステップ 10.3

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = y + C$

ステップ 11

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

ステップ 12

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$

微分積分 例

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