微分積分例

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

$y$ を $y t^{2} - 1.1 y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$y$ を $y t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

ステップ 1.1.1.2

$y$ を $- 1.1 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

ステップ 1.1.1.3

$y$ を $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

ステップ 1.1.2

$1.1$ を ${1.04880884}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

ステップ 1.1.3

因数分解。

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ステップ 1.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 1.04880884$ です。

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

ステップ 1.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$y$ を $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

ステップ 1.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

ステップ 1.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ を展開します。

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ステップ 1.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

ステップ 1.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

ステップ 1.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

ステップ 1.3.3

$t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.3.1

$t \cdot - 1.04880884$ と $1.04880884 t$ について因数を並べ替えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

ステップ 1.3.3.2

$- 1.04880884 t$ と $1.04880884 t$ をたし算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

ステップ 1.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

ステップ 1.3.4.2

$0$ に $t$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

ステップ 1.3.4.3

$1.04880884$ に $- 1.04880884$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

ステップ 1.3.5

$t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{3}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ を $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

微分積分 例

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