微分積分例

$x (\frac{d y}{d x}) + y = \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$

ステップ 1.1.2

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

まとめる。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{y}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x y^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

ステップ 1.2.2.2

$x y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4.2

$y \cdot y^{2}$ を $y^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

ステップ 1.2.4.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2} x}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

まとめる。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

ステップ 1.5.2

まとめる。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

ステップ 1.5.3

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

ステップ 1.5.4

$1 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

ステップ 1.5.5

$1 + y + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

ステップ 1.5.5.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ とします。次に $d u = - 3 y^{2} d y$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$(1 - y) (1 + y + y^{2})$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

ステップ 2.2.1.1.2

$f (y) = 1 - y$ および $g (y) = 1 + y + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

ステップ 2.2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

総和則では、 $1 + y + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

ステップ 2.2.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

ステップ 2.2.1.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

ステップ 2.2.1.1.3.6

総和則では、 $1 - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.2.1.1.3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.2.1.1.3.8

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.1.1.3.9

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.2.1.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.1.1.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

ステップ 2.2.1.1.3.11.2

$- 1$ を $1 + y + y^{2}$ の左に移動させます。

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

ステップ 2.2.1.1.3.11.3

$- 1 (1 + y + y^{2})$ を $- (1 + y + y^{2})$ に書き換えます。

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

ステップ 2.2.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.4

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.5.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.5

$y$ を $1$ 乗します。

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.6

$y$ を $1$ 乗します。

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.9

$- y$ と $2 y$ をたし算します。

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.11

$1$ から $1$ を引きます。

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.12

$y - 2 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.13

$y$ から $y$ を引きます。

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.14

$- 2 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 y^{2} - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.4.5.15

$- 2 y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$- 3 y^{2}$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.3

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 3$ を掛けます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ を展開します。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.2

$y$ に $1$ をかけます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1.5.1

$y$ を移動させます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.6

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1.6.1

$y^{2}$ を移動させます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.6.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1.6.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.1.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.2.1

$1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.1.1.2.2.1.1

$y$ から $y$ を引きます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.1.2

$1 + y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.1.3

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.1.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.2

$\ln (| 1 - y^{3} |)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.2.3.1

$- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.3.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.3.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.3.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.4

掛け算します。

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ステップ 3.2.1.1.2.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2.4.2

$\ln (| 1 - y^{3} |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

ステップ 3.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

ステップ 3.7

$y$ について解きます。

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ステップ 3.7.1

方程式を $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ として書き換えます。

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

ステップ 3.7.2

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ の各項を ${| x |}^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ の各項を ${| x |}^{3}$ で割ります。

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 3.7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.2.2.1

${| x |}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 3.7.2.2.1.2

$| 1 - y^{3} |$ を $1$ で割ります。

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 3.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 3.7.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

ステップ 3.7.5

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.5.1

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.7.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.7.5.2.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.7.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.7.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ を $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ に書き換えます。

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.7.5.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

ステップ 3.7.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$

微分積分 例

微分積分例