微分積分例

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x e^{3 y} + e^{x}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x e^{3 y}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.3

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.6

$3$ を $e^{3 y}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.3.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

ステップ 1.4

$e^{x}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $e^{x}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$6 x e^{3 y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

ステップ 1.5.2

$6 x e^{3 y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

ステップ 1.5.3

$6 e^{3 y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3 e^{3 y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} e^{3 y}$ の微分係数は $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.4

$- y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$6 e^{3 y} x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

ステップ 2.5.2

$6 e^{3 y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$6 x e^{3 y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $6 x e^{3 y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

ステップ 5.2

$2 e^{3 y}$ は $x$ に対して定数なので、 $2 e^{3 y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

ステップ 5.4

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.2

総和則では、 $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{3 y} x^{2}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ です。

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 y$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.3

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.6

$3$ を $e^{3 y}$ の左に移動させます。

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.3.7

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.4

$e^{x}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $e^{x}$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$3 x^{2} e^{3 y}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 8.6.3

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} e^{3 y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

ステップ 9.1.2

$3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$3 x^{2} e^{3 y}$ から $3 x^{2} e^{3 y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

ステップ 9.1.2.2

$- y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

ステップ 10

$- y^{2}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - y^{2} d y$

ステップ 10.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int y^{2} d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 10.5

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ を $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$y^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

ステップ 12.2

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

微分積分 例

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