微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.8

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - 4 x + C_{5}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x + C_{6}$

ステップ 2.3.9.2

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + K$

微分積分 例

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