微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y$ を $x^{2} y - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

ステップ 1.1.1.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

ステップ 1.1.1.3

$y$ を $y x^{2} + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

ステップ 1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

ステップ 1.1.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

ステップ 1.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y + 1}{y}$ を掛けます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

ステップ 1.4.3

$x^{2} - 1$ に $\frac{y}{y + 1}$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

ステップ 1.4.4

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

ステップ 1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

ステップ 1.4.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$y$ を $(x^{2} - 1) y$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

ステップ 1.4.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

ステップ 1.4.5.3

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.3.2

式を書き換えます。

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ の $3$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$3$ を $3^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2.2

$9$ から $3$ を引きます。

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.3

$1 + \ln (| 1 |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$6 + C = 1 + \ln (1)$

ステップ 4.3.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$6 + C = 1 + 0$

ステップ 4.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 + C = 1$

ステップ 4.4

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$C = 1 - 6$

ステップ 4.4.2

$1$ から $6$ を引きます。

$C = - 5$

ステップ 5

$- 5$ を $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 5$ を $C$ に代入します。

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

ステップ 5.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$

微分積分 例

微分積分例