微分積分例

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{4}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

ステップ 1.2

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y^{4}$ を $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 4}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ です。

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ を $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.2.3.2.2

$3$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $t^{\frac{5}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ です。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例