微分積分例

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ を引きます。

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

ステップ 2

両辺に $e^{3 x + 3 y}$ を掛けます。

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$e^{2 y}$ と $e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$e^{3 x}$ を $e^{2 y}$ で因数分解します。

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.1.2.2

共通因数を約分します。

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.1.2.3

式を書き換えます。

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.1.2.4

$e^{2 y - 3 x}$ を $1$ で割ります。

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.2

指数を足して $e^{3 x + 3 y}$ に $e^{2 y - 3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.2.2

$3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.2.2.2

$3 y + 2 y$ と $0$ をたし算します。

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.2.3

$3 y$ と $2 y$ をたし算します。

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

ステップ 3.4

$e^{2 x}$ と $e^{3 y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{3 y}$ を $e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

ステップ 3.4.2.4

$e^{2 x - 3 y}$ を $1$ で割ります。

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

ステップ 3.5

指数を足して $e^{3 x + 3 y}$ に $e^{2 x - 3 y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$e^{2 x - 3 y}$ を移動させます。

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

ステップ 3.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

ステップ 3.5.3

$2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$- 3 y$ と $3 y$ をたし算します。

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

ステップ 3.5.3.2

$2 x + 3 x$ と $0$ をたし算します。

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

ステップ 3.5.4

$2 x$ と $3 x$ をたし算します。

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = 5 y$ とします。次に $d u_{1} = 5 d y$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = 5 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$5 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [5 y]$

ステップ 4.2.1.1.2

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$5 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.2.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{5}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.2.4

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $5 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = 5 x$ とします。次に $d u_{2} = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = 5 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 4.3.2.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 4.3.2.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{5}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.5

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $5$ を掛けます。

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 y}$ をまとめます。

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$e^{5 x}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

ステップ 5.2.2.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1

$- \frac{e^{5 x}}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

ステップ 5.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

ステップ 5.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

ステップ 5.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

ステップ 5.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$5 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{5 y})$ を展開します。

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

ステップ 5.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

ステップ 5.4.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

ステップ 5.5

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$

微分積分 例

微分積分例