微分積分例

$\frac{d P}{d t} = P^{2} - 7 P + 12$ , $P (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12}$ を掛けます。

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

ステップ 1.2

$P^{2} - 7 P + 12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

たすき掛けを利用して $P^{2} - 7 P + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 2.2.1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(P - 4) (P - 3)}$

ステップ 2.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{P - 4}$

ステップ 2.2.1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(P - 4) (P - 3)$ です。

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.5

$P - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6

$P - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.1

$P - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.7.1.2

$(A) (P - 3)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (P - 3) + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A P + A \cdot - 3 + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.7.3

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A P - 3 \cdot A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.7.4

$P - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A P - 3 A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.1.7.4.2

$(B) (P - 4)$ を $1$ で割ります。

$1 = A P - 3 A + (B) (P - 4)$

ステップ 2.2.1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$1 = A P - 3 A + B P + B \cdot - 4$

ステップ 2.2.1.1.7.6

$- 4$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = A P - 3 A + B P - 4 B$

ステップ 2.2.1.1.8

$- 3 A$ を移動させます。

$1 = A P + B P - 3 A - 4 B$

ステップ 2.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

式の両辺から $P$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2.1.2.2

式の両辺から $P$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 3 A - 4 B$

ステップ 2.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

ステップ 2.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 4 B$

ステップ 2.2.1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

ステップ 2.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.1

$1 = - 3 A - 4 B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 3 (- B) - 4 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1

$- 3 (- B) - 4 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$1 = 3 B - 4 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.2

$3 B$ から $4 B$ を引きます。

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3

$1 = - B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.1

方程式を $- B = 1$ として書き換えます。

$- B = 1$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.1

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

ステップ 2.2.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

ステップ 2.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = - 1$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{P - 4} + \frac{- 1}{P - 3}$

ステップ 2.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{P - 4} - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{P - 4} d P + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

ステップ 2.2.3

$u_{1} = P - 4$ とします。次に $d u_{1} = d P$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$u_{1} = P - 4$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d P}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$P - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d P} [P - 4]$

ステップ 2.2.3.1.2

総和則では、 $P - 4$ の $P$ に関する積分は $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$

ステップ 2.2.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ は $n P^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d P} [- 4]$

ステップ 2.2.3.1.4

$- 4$ は $P$ について定数なので、 $P$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $P$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

ステップ 2.2.6

$u_{2} = P - 3$ とします。次に $d u_{2} = d P$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$u_{2} = P - 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d P}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.1

$P - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d P} [P - 3]$

ステップ 2.2.6.1.2

総和則では、 $P - 3$ の $P$ に関する積分は $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$

ステップ 2.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ は $n P^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d P} [- 3]$

ステップ 2.2.6.1.4

$- 3$ は $P$ について定数なので、 $P$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

ステップ 2.2.8

簡約します。

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.9

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.10

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$u_{1}$ のすべての発生を $P - 4$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.10.2

$u_{2}$ のすべての発生を $P - 3$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$

ステップ 3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$P$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |})} = e^{t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{t + C} = \frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}$

ステップ 3.3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$ として書き換えます。

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$

ステップ 3.3.2

両辺に $| P - 3 |$ を掛けます。

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

ステップ 3.3.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$| P - 3 |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

ステップ 3.3.3.1.2

式を書き換えます。

$| P - 4 | = e^{t + C} | P - 3 |$

ステップ 3.3.4

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

方程式を $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ として書き換えます。

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$

ステップ 3.3.4.2

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ の各項を $e^{t + C}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ の各項を $e^{t + C}$ で割ります。

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

ステップ 3.3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.2.1

$e^{t + C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

ステップ 3.3.4.2.2.1.2

$| P - 3 |$ を $1$ で割ります。

$| P - 3 | = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

ステップ 3.3.4.3

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

ステップ 3.3.4.4

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

ステップ 3.3.4.5

$P$ について $P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1

両辺に $e^{t + C}$ を掛けます。

$(P - 3) e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.2.1.1

$(P - 3) e^{t + C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.5.2.1.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.2.1.1.2.1

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.5.2.1.1.2.2

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.2.2.1

$e^{t + C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = P - 4$

ステップ 3.3.4.5.3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.3.1

方程式の両辺から $P$ を引きます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} - P = - 4$

ステップ 3.3.4.5.3.2

方程式の両辺に $3 e^{C + t}$ を足します。

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.5.3.3

$P$ を $P e^{C + t} - P$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.3.3.1

$P$ を $P e^{C + t}$ で因数分解します。

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.5.3.3.2

$P$ を $- P$ で因数分解します。

$P e^{C + t} + P \cdot - 1 = - 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.5.3.3.3

$P$ を $P e^{C + t} + P \cdot - 1$ で因数分解します。

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.5.3.4

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ の各項を $e^{C + t} - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.3.4.1

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ の各項を $e^{C + t} - 1$ で割ります。

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.3.4.2.1

$e^{C + t} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.2.1.2

$P$ を $1$ で割ります。

$P = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$P = \frac{- 4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.3.2

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$P = \frac{- 1 (4) + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.3.3

$- 1$ を $3 e^{C + t}$ で因数分解します。

$P = \frac{- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.3.4

$- 1$ を $- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})$ で因数分解します。

$P = \frac{- 1 (4 - 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.5.3.4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

ステップ 3.3.4.6

$P$ について $P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.1

両辺に $e^{t + C}$ を掛けます。

$(P - 3) e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.1.1

$(P - 3) e^{t + C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.6.2.1.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.1.1.2.1

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.6.2.1.1.2.2

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.2.1

$- \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.2.1.1

$e^{t + C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.2.2.1.1.1

$- \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.6.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

ステップ 3.3.4.6.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - (P - 4)$

ステップ 3.3.4.6.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P - - 4$

ステップ 3.3.4.6.2.2.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P + 4$

ステップ 3.3.4.6.3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.3.1

方程式の両辺に $P$ を足します。

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} + P = 4$

ステップ 3.3.4.6.3.2

方程式の両辺に $3 e^{C + t}$ を足します。

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.6.3.3

$P$ を $P e^{C + t} + P$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.3.3.1

$P$ を $P e^{C + t}$ で因数分解します。

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.6.3.3.2

$P$ を $1$ 乗します。

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.6.3.3.3

$P$ を $P^{1}$ で因数分解します。

$P e^{C + t} + P \cdot 1 = 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.6.3.3.4

$P$ を $P e^{C + t} + P \cdot 1$ で因数分解します。

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$

ステップ 3.3.4.6.3.4

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ の各項を $e^{C + t} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.3.4.1

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ の各項を $e^{C + t} + 1$ で割ります。

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 3.3.4.6.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.3.4.2.1

$e^{C + t} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 3.3.4.6.3.4.2.1.2

$P$ を $1$ で割ります。

$P = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 3.3.4.6.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 3.3.4.7

すべての解をまとめます。

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.2

$e^{t + C}$ を $e^{t} e^{C}$ に書き換えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.3

$e^{t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.5

$e^{t + C}$ を $e^{t} e^{C}$ に書き換えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.6

$e^{t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.7

項を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.8

$e^{t + C}$ を $e^{t} e^{C}$ に書き換えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.9

$e^{t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} + 1}$

ステップ 4.10

項を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} + 1}$

ステップ 4.11

$e^{t + C}$ を $e^{t} e^{C}$ に書き換えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} + 1}$

ステップ 4.12

$e^{t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

ステップ 5

$P$ が初期条件 $(0, 1)$ で正なので、 $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ だけを考え、 $C$ を求めます。 $0$ を $t$ に、 $1$ を $P$ に代入します。

$1 = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$ として書き換えます。

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$

ステップ 6.2

両辺に $e^{C} e^{0} - 1$ を掛けます。

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

$e^{C} e^{0} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.1.3

式を書き換えます。

$- (4 - 3 e^{C} e^{0}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.2

指数を足して $e^{C}$ に $e^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

$e^{0}$ を移動させます。

$- (4 - 3 (e^{0} e^{C})) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (4 - 3 e^{0 + C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.2.3

$0$ と $C$ をたし算します。

$- (4 - 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.1.1.4.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 3 e^{C} = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$1 (e^{C} e^{0} - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$e^{C} e^{0} - 1$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} e^{0} - 1$

ステップ 6.3.2.1.2

指数を足して $e^{C}$ に $e^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C + 0} - 1$

ステップ 6.3.2.1.2.2

$C$ と $0$ をたし算します。

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} - 1$

ステップ 6.4

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$C$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

方程式の両辺から $e^{C}$ を引きます。

$- 4 + 3 e^{C} - e^{C} = - 1$

ステップ 6.4.1.2

$3 e^{C}$ から $e^{C}$ を引きます。

$- 4 + 2 e^{C} = - 1$

ステップ 6.4.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$2 e^{C} = - 1 + 4$

ステップ 6.4.2.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$2 e^{C} = 3$

ステップ 6.4.3

$2 e^{C} = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$2 e^{C} = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 6.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 6.4.3.2.1.2

$e^{C}$ を $1$ で割ります。

$e^{C} = \frac{3}{2}$

ステップ 6.4.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{C}) = \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 6.4.5

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.5.1

$C$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{C})$ を展開します。

$C \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 6.4.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$C \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 6.4.5.3

$C$ に $1$ をかけます。

$C = \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 7

$\ln (\frac{3}{2})$ を $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\ln (\frac{3}{2})$ を $C$ に代入します。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

ステップ 7.2

指数を足して $e^{\ln (\frac{3}{2})}$ に $e^{t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{t}$ を移動させます。

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{\ln (\frac{3}{2})})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2}) + t} - 1}$

微分積分 例

微分積分例