微分積分例

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 t y$ を足します。

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

ステップ 2

$P (t) = 2 t$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 t d t}$

ステップ 2.2

$2 t$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int t d t}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 t^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.3

$t^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{t^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{t^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{t^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{t^{2}}$ を掛けます。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

ステップ 3.4

指数を足して $e^{t^{2}}$ に $e^{- t^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$e^{- t^{2}}$ を移動させます。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

ステップ 3.4.3

$- t^{2}$ と $t^{2}$ をたし算します。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

ステップ 3.5

$4 e^{0}$ を簡約します。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

ステップ 3.6

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ の因数を並べ替えます。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

ステップ 8

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$ の各項を $e^{t^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$ の各項を $e^{t^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{t^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ の $0$ を $t$ に、 $3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

ステップ 10

$C$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ として書き換えます。

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

ステップ 10.2

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.1

分数をまとめます。

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ステップ 10.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

ステップ 10.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.1.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

ステップ 10.2.1.2.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

ステップ 10.2.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{C}{1} = 3$

ステップ 10.2.3

$C$ を $1$ で割ります。

$C = 3$

ステップ 11

$3$ を $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$3$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$

微分積分 例

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