微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

ステップ 1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

ステップ 1.2.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = - x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - x d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(4, 3)$ で正なので、 $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $4$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入します。

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ として書き換えます。

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- 4^{2} + K}$ を ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3

簡約します。

$- 16 + K = 3^{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- 16 + K = 9$

ステップ 6.4

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.4.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$K = 9 + 16$

ステップ 6.4.2

$9$ と $16$ をたし算します。

$K = 25$

ステップ 7

$25$ を $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$25$ を $K$ に代入します。

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

ステップ 7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

ステップ 7.3

$- x^{2}$ と $5^{2}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

ステップ 7.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = x$ です。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

微分積分 例

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