微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$28$ は $t$ に対して定数なので、 $28$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2

${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

二項定理を利用します。

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2.2

累乗法を積に書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2.3

累乗法を積に書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2.4

累乗法を積に書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2.5

累乗法を積に書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2.6

累乗法を積に書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

ステップ 2.3.2.7

累乗法を積に書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.8

$t^{2}$ を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.9

括弧を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.10

括弧を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.11

$t^{2}$ を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.12

$t^{2}$ を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.13

括弧を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.14

括弧を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.15

$t^{2}$ を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.16

$t^{2}$ を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.17

$t^{2}$ を移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

ステップ 2.3.2.18

$7$ に $7$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.19

$49$ に $7$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.21

$2$ と $2$ をたし算します。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.23

$4$ と $2$ をたし算します。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.24

$3$ に $7$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.25

$21$ に $7$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.26

$147$ に $- 5$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.27

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.28

$2$ と $2$ をたし算します。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.29

$3$ に $7$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.30

$21$ に $- 5$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.31

$- 105$ に $- 5$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.32

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

ステップ 2.3.2.33

$25$ に $- 5$ をかけます。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.4

$343$ は $t$ に対して定数なので、 $343$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $t^{6}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{7} t^{7}$ です。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.6

$- 735$ は $t$ に対して定数なので、 $- 735$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $t^{4}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{5} t^{5}$ です。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.8

$525$ は $t$ に対して定数なので、 $525$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.9

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

ステップ 2.3.10

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

ステップ 2.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1.1

$\frac{1}{7}$ と $t^{7}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

ステップ 2.3.11.1.2

$\frac{1}{5}$ と $t^{5}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

ステップ 2.3.11.1.3

$\frac{1}{3}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

ステップ 2.3.11.2

簡約します。

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ の $1$ を $t$ に、 $5$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ として書き換えます。

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2.1.2

$49$ に $1$ をかけます。

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2.1.4

$- 147$ に $1$ をかけます。

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2.1.6

$175$ に $1$ をかけます。

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

ステップ 4.2.1.7

$- 125$ に $1$ をかけます。

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

ステップ 4.2.2

$49$ から $147$ を引きます。

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

ステップ 4.2.3

$- 98$ と $175$ をたし算します。

$28 (77 - 125) + K = 5$

ステップ 4.2.4

$77$ から $125$ を引きます。

$28 \cdot - 48 + K = 5$

ステップ 4.2.5

$28$ に $- 48$ をかけます。

$- 1344 + K = 5$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $1344$ を足します。

$K = 5 + 1344$

ステップ 4.3.2

$5$ と $1344$ をたし算します。

$K = 1349$

ステップ 5

$1349$ を $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$1349$ を $K$ に代入します。

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

ステップ 5.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$49$ に $28$ をかけます。

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

ステップ 5.2.2.2

$- 147$ に $28$ をかけます。

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

ステップ 5.2.2.3

$175$ に $28$ をかけます。

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

ステップ 5.2.2.4

$- 125$ に $28$ をかけます。

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$

微分積分 例

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