微分積分例

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

ステップ 1.1.2

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$ の各項を $x y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$ の各項を $x y$ で割ります。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.4.2

$\frac{3}{x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

ステップ 1.4.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

ステップ 1.4.3.2

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

ステップ 1.4.3.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

ステップ 1.4.3.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数の中の $6$ を移動させて $- 6 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

ステップ 3.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{6}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(2, 1)$ で正なので、 $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ だけを考え、 $C$ を求めます。 $2$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入します。

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ として書き換えます。

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ を ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$2$ を $6$ 乗します。

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3

簡約します。

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \ln (64) + C = 1$

ステップ 6.4

方程式の両辺に $\ln (64)$ を足します。

$C = 1 + \ln (64)$

ステップ 7

$1 + \ln (64)$ を $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1 + \ln (64)$ を $C$ に代入します。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$

微分積分 例

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