微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

まとめる。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

ステップ 1.2.2

${(y - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y - 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y - 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$- u^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{u} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$u$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y - 1, 1, 1$

ステップ 3.1.2

括弧を削除します。

$y - 1, 1, 1$

ステップ 3.1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y - 1$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ の各項に $y - 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ の各項に $y - 1$ を掛けます。

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y - 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.2

$- 1$ を $\ln (| x |)$ の左に移動させます。

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 1 \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.4

分配則を当てはめます。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

ステップ 3.2.3.1.5

$- 1$ を $C$ の左に移動させます。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

ステップ 3.2.3.1.6

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

ステップ 3.2.3.2

$\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ として書き換えます。

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

ステップ 3.3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺に $C y$ を足します。

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺に $\ln (| x |)$ を足します。

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

ステップ 3.3.5

$y$ を $y \ln (| x |) + C y$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.5.1

$y$ を $C y$ で因数分解します。

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

ステップ 3.3.5.2

$y$ を $y \ln (| x |) + y C$ で因数分解します。

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

ステップ 3.3.6

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ の各項を $\ln (| x |) + C$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ の各項を $\ln (| x |) + C$ で割ります。

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 3.3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.6.2.1

$\ln (| x |) + C$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 3.3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 3.3.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 3.3.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 3.3.6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

微分積分 例

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