微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u = 5 x + 1$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u = 5 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$5 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 2.3.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ を $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $5 x + 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ の $3$ を $x$ に、 $- 2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ として書き換えます。

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

ステップ 4.2.2

$15$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

ステップ 4.2.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

ステップ 4.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

ステップ 4.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

ステップ 4.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

ステップ 4.2.6

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

ステップ 4.2.7

$\frac{2}{15} \cdot 64$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$\frac{2}{15}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

ステップ 4.2.7.2

$2$ に $64$ をかけます。

$\frac{128}{15} + K = - 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{128}{15}$ を引きます。

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

ステップ 4.3.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

ステップ 4.3.3

$- 2$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$- 2$ に $15$ をかけます。

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

ステップ 4.3.5.2

$- 30$ から $128$ を引きます。

$K = \frac{- 158}{15}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$K = - \frac{158}{15}$

ステップ 5

$- \frac{158}{15}$ を $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \frac{158}{15}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

ステップ 5.2

$\frac{2}{15}$ と ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

ステップ 5.4

$2$ を $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2$ を $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

ステップ 5.4.2

$2$ を $- 158$ で因数分解します。

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

ステップ 5.4.3

$2$ を $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ で因数分解します。

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$

微分積分 例

微分積分例