微分積分例

$2 \frac{d y}{d x} - x = 10$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$

ステップ 1.1.2

$2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$10$ を $2$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{x}{2}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (5 + \frac{x}{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{4} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + K$

微分積分 例

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