微分積分例

$2 x y^{3} d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 x y^{3} d x$ を引きます。

$3 x^{2} y^{2} d y = - 2 x y^{3} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

ステップ 3.2

$3$ と $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

ステップ 3.3

$x^{2} y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x^{2} y^{2}$ を $x^{2} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.5

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.6

$x y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x y^{3}$ を $x^{2} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

ステップ 5.2.1.3

$\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ として書き換えます。

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

${| y |}^{3}$ を $1$ で割ります。

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

ステップ 5.5.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.4.1

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ を $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 5.5.4.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.4.3.1

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.3.2

$\sqrt[3]{x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.5.4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

ステップ 5.5.4.3.5

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ を $x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.5.4.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.5.4.3.5.3

$\frac{2}{3}$ と $3$ をまとめます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 5.5.4.3.5.4

$2$ に $3$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

ステップ 5.5.4.3.5.5

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.3.5.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

ステップ 5.5.4.3.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.3.5.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

ステップ 5.5.4.3.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

ステップ 5.5.4.3.5.5.2.3

式を書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

ステップ 5.5.4.3.5.5.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.4.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.5.4.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.3

$x^{3}$ を因数分解します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.5.4.5.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.5.1.1

$x$ を $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ で因数分解します。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.5.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

ステップ 5.5.4.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

ステップ 5.5.4.5.1.2.3

式を書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

ステップ 5.5.4.5.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

ステップ 5.5.5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$

微分積分 例

微分積分例