微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.1.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.1.1.3

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺に $6 y x$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

ステップ 1.2

$y$ を $6 y x - y$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $6 y x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

ステップ 1.2.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

ステップ 1.2.3

$y$ を $y (6 x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{3 x^{2} - x + C}$ を $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{3 x^{2} - x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{3 x^{2} - x}$

微分積分 例

微分積分例