微分積分例

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ を引きます。

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

ステップ 1.2

書き換えます。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

ステップ 2.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y \ln (\frac{x}{y})$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

ステップ 2.4

$f (y) = y$ および $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.5

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.5.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.6

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{y}$ で割ります。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.7

$\frac{y}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.8

$\frac{y}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.9

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.10

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.13

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.14

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$x$ と $\frac{y^{2}}{x}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.14.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.14.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.14.3

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.15

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.16

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

$y^{- 2}$ を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.16.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.16.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.17

$y^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

ステップ 2.19

$\ln (\frac{x}{y})$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

ステップ 2.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 2.20.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 3

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1 - \ln (\frac{x}{y})$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$1 - \ln (\frac{x}{y})$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

ステップ 5.3

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ を $M$ に代入します。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.2.3

$- - \ln (\frac{x}{y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.2.3.2

$\ln (\frac{x}{y})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.2.5

$0$ と $\ln (\frac{x}{y})$ をたし算します。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 5.3.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

ステップ 5.3.4

$\ln (\frac{x}{y})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- y}$

ステップ 5.3.5

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

ステップ 5.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 6.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

ステップ 6.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

ステップ 6.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

ステップ 7

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

ステップ 7.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$y$ を $- y (\ln (x) - \ln (y))$ で因数分解します。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

ステップ 7.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

ステップ 7.4

$- 1 \ln (\frac{x}{y})$ を $- \ln (\frac{x}{y})$ に書き換えます。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

ステップ 7.5

$x$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 7.6

$x$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = \frac{x}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 9.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

ステップ 9.3

簡約します。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 12

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

書き換えます。

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

ステップ 13.1.2

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1

方程式の両辺から $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ を引きます。

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

ステップ 13.1.2.2

書き換えます。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.3

$M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

ステップ 13.1.3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

ステップ 13.1.3.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y \ln (\frac{x}{y})$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

ステップ 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.5

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.5.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.5.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.6

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{y}$ で割ります。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.7

$\frac{y}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.8

$\frac{y}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.9

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.10

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.13

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.14

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.14.1

$x$ と $\frac{y^{2}}{x}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.14.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.14.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.14.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.14.3

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.15

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.16

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.16.1

$y^{- 2}$ を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.16.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.16.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.17

$y^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 13.1.3.18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

ステップ 13.1.3.19

$\ln (\frac{x}{y})$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

ステップ 13.1.3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.3.20.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.4

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 13.1.5

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.5.1

$1 - \ln (\frac{x}{y})$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

ステップ 13.1.5.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 13.1.6

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.1

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 13.1.6.2

$1 - \ln (\frac{x}{y})$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

ステップ 13.1.6.3

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.3.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ を $M$ に代入します。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.2.3

$- - \ln (\frac{x}{y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.2.3.2

$\ln (\frac{x}{y})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.2.5

$0$ と $\ln (\frac{x}{y})$ をたし算します。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

ステップ 13.1.6.3.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

ステップ 13.1.6.3.4

$\ln (\frac{x}{y})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

ステップ 13.1.6.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- y}$

ステップ 13.1.6.3.5

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.3.5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

ステップ 13.1.6.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y}$

ステップ 13.1.6.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 13.1.7

積分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 13.1.7.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 13.1.7.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

ステップ 13.1.7.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

ステップ 13.1.7.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

ステップ 13.1.7.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

ステップ 13.1.8

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.8.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.8.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.8.2.1

$y$ を $- y (\ln (x) - \ln (y))$ で因数分解します。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.8.2.3

式を書き換えます。

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.8.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.8.4

$- 1 \ln (\frac{x}{y})$ を $- \ln (\frac{x}{y})$ に書き換えます。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

ステップ 13.1.8.5

$x$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 13.1.8.6

$x$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

ステップ 13.1.9

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

ステップ 13.1.10

$N (x, y) = \frac{x}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.10.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 13.1.10.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

ステップ 13.1.10.3

簡約します。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

ステップ 13.1.11

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

ステップ 13.1.12

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.13.1

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.13.1.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.13.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.2

$\frac{1}{x}$ に $x \ln (| y |) + g x$ をかけます。

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.3

$x$ を $x \ln (| y |) + g x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.13.1.3.1

$x$ を $x \ln (| y |)$ で因数分解します。

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.3.2

$x$ を $g x$ で因数分解します。

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.3.3

$x$ を $x \ln (| y |) + x g$ で因数分解します。

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.13.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.13.1.4.2

$\ln (| y |) + g$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

ステップ 13.1.14

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

ステップ 13.1.15

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

ステップ 13.1.16

$| y |$ と $\frac{x}{y}$ をまとめます。

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

ステップ 13.1.17

$\ln (\frac{| y | x}{y})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

ステップ 14

$- g$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ の両辺を積分します。

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

ステップ 14.2

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - g d x$

ステップ 14.3

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = - g x + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$

微分積分 例

微分積分例