微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

ステップ 1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

ステップ 1.4.2.2

$y$ を $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

ステップ 1.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

ステップ 2.3.2

$u = (x + 3) (x - 3)$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = (x + 3) (x - 3)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$(x + 3) (x - 3)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

ステップ 2.3.2.1.2

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.2.1.3

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.2.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.2.1.3.4.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.2.1.3.5

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.3.2.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.3.2.1.3.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

ステップ 2.3.2.1.3.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.3.8.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$x + 3 + x - 3$

ステップ 2.3.2.1.3.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x + 3 - 3$

ステップ 2.3.2.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.3.8.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.2.1.3.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $(x + 3) (x - 3)$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$x \cdot - 3$ と $3 x$ について因数を並べ替えます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.2

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

ステップ 3.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

ステップ 3.3.3.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.4

$\ln (| y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.5

項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.6

$2$ を $\ln (| y |)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.7

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.7.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.7.1.1.3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

ステップ 3.7.1.2

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

ステップ 3.7.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ を簡約します。

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.7.1.4

積の法則を $y^{2} | x^{2} - 9 |$ に当てはめます。

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.7.1.5

${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.7.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.7.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.7.1.5.2.2

式を書き換えます。

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.7.1.6

簡約します。

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.8

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

ステップ 3.9

対数の定義を利用して $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.10

$y$ について解きます。

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ステップ 3.10.1

方程式を $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ として書き換えます。

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

ステップ 3.10.2

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ の各項を ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.10.2.1

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ の各項を ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.10.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.10.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例