微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 5 x$

ステップ 1

$P (x) = 5 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 5 x d x}$

ステップ 1.2

$5 x$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 \int x d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

ステップ 1.4

$\frac{5}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ を掛けます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

ステップ 2.4

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

ステップ 6.2

$u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

ステップ 6.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{5 x^{2}}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

ステップ 6.2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

ステップ 6.2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{5 x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

ステップ 6.2.1.3

微分します。

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ステップ 6.2.1.3.1

$\frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.2.1.3.2

$\frac{5}{2}$ と $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.2.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

ステップ 6.2.1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.3.4.1

$2$ と $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

ステップ 6.2.1.3.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 6.2.1.3.4.3

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

ステップ 6.2.1.3.4.4

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.3.4.4.1

$2$ を $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

ステップ 6.2.1.3.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.3.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

ステップ 6.2.1.3.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.1.3.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

ステップ 6.2.1.3.4.4.2.4

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ を $1$ で割ります。

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

ステップ 6.2.1.3.4.5

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

ステップ 6.3

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

ステップ 6.4

答えを簡約します。

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ステップ 6.4.1

$5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ を $5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ に書き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

ステップ 6.4.2

簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

ステップ 6.4.2.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

ステップ 6.4.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 1 u_{2} + C$

ステップ 6.4.2.3

$u_{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = u_{2} + C$

ステップ 6.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ で置き換えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

ステップ 6.4.4

項を並べ替えます。

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

ステップ 7

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ の各項を $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ の各項を $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ と $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ を $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$x^{2}$ を $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1.1

$x^{2}$ を $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y = e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.3

$5$ から $5$ を引きます。

$y = e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.3

$x^{2}$ に $0$ をかけます。

$y = e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.4

$0$ を $2$ で割ります。

$y = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.3.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例