微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

ステップ 1.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

ステップ 1.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

ステップ 1.3.2.5

$4 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

ステップ 2

$P (x) = \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{2}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{2}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

ステップ 3.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

ステップ 3.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

ステップ 3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

ステップ 3.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ に書き換えます。

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

ステップ 7.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

ステップ 7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

ステップ 7.3.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} y = x^{4} + C$

ステップ 8

$x^{2} y = x^{4} + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x^{2} y = x^{4} + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ の $1$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

ステップ 10

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式を $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ として書き換えます。

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

ステップ 10.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + \frac{C}{1} = 0$

ステップ 10.2.3

$C$ を $1$ で割ります。

$1 + C = 0$

ステップ 10.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$C = - 1$

ステップ 11

$- 1$ を $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$- 1$ を $C$ に代入します。

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

ステップ 11.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例