微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

ステップ 1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

ステップ 1.2.2.2

$y$ を $9 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{4}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{4}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

$4$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.3.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$x^{2}$ と $\frac{2}{9}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$- 2$ と $\frac{2 x^{2}}{9}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$2$ を $- \frac{4 x^{2}}{9}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

ステップ 3.4.1.3

$2$ を $2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$K$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

ステップ 3.4.4

$9$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

ステップ 3.4.5

$2$ と $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.6.1

$2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

ステップ 3.4.6.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.6.3

分数 $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

ステップ 3.4.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

ステップ 3.4.8

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

微分積分 例

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