微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

ステップ 2

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

ステップ 3.4

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

ステップ 7.2

$u = x^{2}$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

ステップ 7.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

ステップ 7.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

ステップ 7.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

ステップ 7.6

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

ステップ 7.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

ステップ 7.8.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

ステップ 7.9

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.9.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.9.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.9.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

ステップ 7.10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

ステップ 7.11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

ステップ 7.12

$- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ を $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

ステップ 7.13

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

ステップ 7.14

簡約します。

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ステップ 7.14.1

分配則を当てはめます。

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

ステップ 7.14.2

簡約します。

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ステップ 7.14.2.1

$- (- x^{2} e^{- x})$ を掛けます。

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ステップ 7.14.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

ステップ 7.14.2.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

ステップ 7.14.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

ステップ 7.14.2.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

ステップ 8

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.3

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

ステップ 10

$C$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ として書き換えます。

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

ステップ 10.2

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

ステップ 10.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

ステップ 10.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

ステップ 10.2.1.4

$C$ を $1$ で割ります。

$0 + 0 + 2 + C = 0$

ステップ 10.2.2

$0 + 0 + 2 + C$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2 + C = 0$

ステップ 10.2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2 + C = 0$

ステップ 10.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$C = - 2$

ステップ 11

$- 2$ を $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$- 2$ を $C$ に代入します。

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

ステップ 11.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$

微分積分 例

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