微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{9 + 20 x}{x}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

ステップ 1.3.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{9 + 20 x}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} + \frac{20 x}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

$20$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int 20 d x$

ステップ 2.3.4

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \int \frac{1}{x} d x + \int 20 d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 20 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + 20 x + C_{3}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \ln (| x |) + 20 x + C_{4}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (20 x) + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

ステップ 3.2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$20$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = 60 x + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$9$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = 60 x + 27 \ln (| x |) + 3 C$

ステップ 3.3

対数の中の $27$ を移動させて $27 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{3} = 60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + C}$

微分積分 例

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