微分積分例

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 (y + 3) d x$ を引きます。

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (y + 3)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{x (y + 3)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.3

$\frac{- 1}{y + 3}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

ステップ 3.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

ステップ 3.6

$- 2$ と $\frac{1}{x (y + 3)}$ をまとめます。

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

ステップ 3.7

$y + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$y + 3$ を $x (y + 3)$ で因数分解します。

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

ステップ 3.7.3

式を書き換えます。

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$y$ を $y + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$3$

$y$

$0$

ステップ 4.2.2.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

ステップ 4.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

ステップ 4.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 3$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

ステップ 4.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

ステップ 4.2.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.4

定数の法則を当てはめます。

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.8

$u = y + 3$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

$u = y + 3$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.1

$y + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

ステップ 4.2.8.1.2

総和則では、 $y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 4.2.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 4.2.8.1.4

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.2.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.10

簡約します。

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.11

$u$ のすべての発生を $y + 3$ で置き換えます。

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.1

分配則を当てはめます。

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2.12.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例