微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$28$ は $t$ に対して定数なので、 $28$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2

$u = 7 t^{2} - 5$ とします。次に $d u = 14 t d t$ すると、 $\frac{1}{14} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = 7 t^{2} - 5$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$7 t^{2} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $7 t^{2} - 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $7 t^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $7$ をかけます。

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

$- 5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$14 t + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$14 t$ と $0$ をたし算します。

$14 t$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

ステップ 2.3.3

$u^{3}$ と $\frac{1}{14}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{14}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{14}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{14}$ と $28$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2

$28$ と $14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$14$ を $28$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$14$ を $14$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $7 t^{2} - 5$ で置き換えます。

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ の $1$ を $t$ に、 $5$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 5$

ステップ 4.2.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 5$

ステップ 4.2.2

$7$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 5$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ を $2^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

ステップ 4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

ステップ 4.2.3.3

式を書き換えます。

$2^{3} + K = 5$

ステップ 4.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + K = 5$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$K = 5 - 8$

ステップ 4.3.2

$5$ から $8$ を引きます。

$K = - 3$

ステップ 5

$- 3$ を $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 3$ を $K$ に代入します。

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} - 3$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

二項定理を利用します。

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

積の法則を $7 t^{2}$ に当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.2

$7$ を $4$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.3

${(t^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.4

積の法則を $7 t^{2}$ に当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.5

$7$ を $3$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.6

${(t^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.7

$343$ に $4$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.8

$- 5$ に $1372$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.9

積の法則を $7 t^{2}$ に当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.10

$7$ を $2$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.11

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.11.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.12

$49$ に $6$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.13

$- 5$ を $2$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.14

$25$ に $294$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.15

$7$ に $4$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.16

$- 5$ を $3$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.17

$- 125$ に $28$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) - 3$

ステップ 5.2.2.18

$- 5$ を $4$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) - 3$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$2401$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.1.2

$\frac{2401}{2}$ と $t^{8}$ をまとめます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$2$ を $- 6860 t^{6}$ で因数分解します。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$2$ を $7350 t^{4}$ で因数分解します。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.3.3

式を書き換えます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$2$ を $- 3500 t^{2}$ で因数分解します。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.4.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.4.3

式を書き換えます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

ステップ 5.2.4.5

$\frac{1}{2}$ と $625$ をまとめます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3$

ステップ 5.3

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.4

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 6}{2}$

ステップ 5.6.2

$625$ から $6$ を引きます。

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{619}{2}$

微分積分 例

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