微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x^{2} + 8$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = x^{2} + 8$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x^{2} + 8$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 2.3.2.1.4

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$u^{- \frac{1}{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 2.3.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ を $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 8$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ として書き換えます。

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

ステップ 4.2.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

ステップ 4.2.3

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

ステップ 4.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

ステップ 4.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

ステップ 4.2.5.2

式を書き換えます。

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

ステップ 4.2.6

$2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4 + K = 0$

ステップ 4.2.7

$3$ に $4$ をかけます。

$12 + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$K = - 12$

ステップ 5

$- 12$ を $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 12$ を $K$ に代入します。

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$

微分積分 例

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