微分積分例

$(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$ の各項を $10 + x^{4}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$ の各項を $10 + x^{4}$ で割ります。

$\frac{(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{4}} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$10 + x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{4}} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{1}{10 + x^{4}}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{x^{3}}{y}$ に $\frac{1}{10 + x^{4}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{3}}{10 + x^{4}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{x^{3}}{10 + x^{4}}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{(10 + x^{4}) y}$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$y$ を $(10 + x^{4}) y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x^{4}$ を ${(x^{4})}^{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{3}}{10 + {(x^{4})}^{1}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{1} = x^{4}$ とします。次に $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{1} = x^{4}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x^{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3}$

ステップ 2.3.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2

$\frac{1}{10 + u_{1}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(10 + u_{1}) \cdot 4} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.3

$4$ を $10 + u_{1}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 (10 + u_{1})} d u_{1}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{10 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5

$u_{2} = 10 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$u_{2} = 10 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$10 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [10 + u_{1}]$

ステップ 2.3.5.1.2

総和則では、 $10 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 2.3.5.1.3

$10$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 2.3.5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.3.5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.8

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$u_{2}$ のすべての発生を $10 + u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + u_{1} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| 10 + x^{4} |)$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{4}$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$ を $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.4.3.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.4.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.4.5

$\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + C)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例