微分積分例

$x (y d) y - (x + 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $(x + 1) d x$ を足します。

$x y d y = (x + 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ に $x + 1$ をかけます。

$y d y = \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 4.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

微分積分 例

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