微分積分例

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{81}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

ステップ 1.2

$x^{2} + \frac{1}{81}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{81}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{81} + x^{2}} d x = \int d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{81}$ を ${(\frac{1}{9})}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{9}$ で割ります。

$1 \cdot 9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4.2

$9$ に $1$ をかけます。

$9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{9}$ で割ります。

$9 \arctan (x \cdot 9) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4.4

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$9 \arctan (9 x) = t + K$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$9 \arctan (9 x) = t + K$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$9 \arctan (9 x) = t + K$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\arctan (9 x)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (9 x) = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $x$ を取り出します。

$9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$

ステップ 3.3

$9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + K)}{9}$

微分積分 例

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