微分積分例

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

ステップ 1

$P (t) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{2 t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{2 t}$ を掛けます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

ステップ 2.3

$e^{2 t}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

ステップ 2.4

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 6.1.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 6.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 6.5

簡約します。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 6.6

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

ステップ 7

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ の各項を $e^{2 t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ の各項を $e^{2 t}$ で割ります。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ の $0$ を $t$ に、 $\frac{2}{5}$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

ステップ 9

$C$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

ステップ 9.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

ステップ 9.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

ステップ 9.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.3.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

ステップ 9.3.2

$\frac{2}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 9.3.3

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 9.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $10$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.4.1

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 9.3.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 9.3.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

ステップ 9.3.4.4

$2$ に $5$ をかけます。

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

ステップ 9.3.5

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

ステップ 9.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$C = \frac{4 - 5}{10}$

ステップ 9.3.6.2

$4$ から $5$ を引きます。

$C = \frac{- 1}{10}$

ステップ 9.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$C = - \frac{1}{10}$

ステップ 10

$- \frac{1}{10}$ を $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$- \frac{1}{10}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

ステップ 10.2.2

$\frac{1}{e^{2 t}}$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

ステップ 10.2.3

$10$ を $e^{2 t}$ の左に移動させます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$

微分積分 例

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