微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

ステップ 2.3.8

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

ステップ 2.3.10

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ の $1$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ として書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.2

$\frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.3

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.4.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.4.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.6.2

$8$ から $3$ を引きます。

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

ステップ 4.2.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

ステップ 4.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

ステップ 4.2.9

$5$ と $12$ をたし算します。

$\frac{17}{12} + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{17}{12}$ を引きます。

$K = 2 - \frac{17}{12}$

ステップ 4.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

ステップ 4.3.3

$2$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ に $12$ をかけます。

$K = \frac{24 - 17}{12}$

ステップ 4.3.5.2

$24$ から $17$ を引きます。

$K = \frac{7}{12}$

ステップ 5

$\frac{7}{12}$ を $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{7}{12}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

ステップ 5.2.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$

微分積分 例

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