微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sqrt{x}}{4 y})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

ステップ 1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

ステップ 1.2.2.2

$y$ を $4 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ を $- \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 4} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.3.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例