微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{2}{x}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{2})}$

ステップ 1.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{2}$

ステップ 2

各項に積分因数 $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{2}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

ステップ 2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

ステップ 2.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

ステップ 2.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

ステップ 2.3.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

ステップ 7

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$x^{5}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{5} x^{5}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{5} x^{3}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{1}{5}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ の $1$ を $x$ に、 $\frac{2}{5}$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

ステップ 9

$C$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ として書き換えます。

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

ステップ 9.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

ステップ 9.2.3

$C$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

ステップ 9.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.3.1

方程式の両辺から $\frac{1}{5}$ を引きます。

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{2 - 1}{5}$

ステップ 9.3.3

$2$ から $1$ を引きます。

$C = \frac{1}{5}$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ を $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{5}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 10.2.2

まとめる。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

ステップ 10.2.3

$1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$

微分積分 例

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