微分積分例

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 3

$N (x, y) = 2 y + t$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 y + t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

ステップ 3.3

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

ステップ 3.4

$t$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $t$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

ステップ 3.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - 1}{M}$

ステップ 5.3

$y$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$y$ を $M$ に代入します。

$\frac{0 - 1}{y}$

ステップ 5.3.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1}{y}$

ステップ 5.3.3

$y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{1}{y}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 6.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

ステップ 6.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

ステップ 6.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

ステップ 7

$y d t + (2 y + t) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$y$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

ステップ 7.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

ステップ 7.3

$2 y + t$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 7.4

$2 y + t$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int d x$

ステップ 9

$M (x, y) = 1$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

ステップ 12.2

総和則では、 $x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

ステップ 12.3

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

ステップ 12.5

$0$ と $\frac{d g}{d y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

ステップ 13

$\frac{2 y + t}{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

ステップ 13.3

分数を複数の分数に分割します。

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

ステップ 13.4

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

ステップ 13.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

ステップ 13.5.2

$2$ を $1$ で割ります。

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

ステップ 13.6

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

ステップ 13.7

$t$ は $y$ に対して定数なので、 $t$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 13.8

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

ステップ 13.9

簡約します。

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$

微分積分 例

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