微分積分例

$(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x y + y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 x y + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x y + x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + x^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 x$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x + y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x + 2 y = 2 x + y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 x + 2 y = 2 x + y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x + y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{N}$

ステップ 4.3

$x y + x^{2}$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x y + x^{2}$ を $N$ に代入します。

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{x y + x^{2}}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2 y - (2 x) - y}{x y + x^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 2 y - 2 x - y}{x y + x^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x + 2 y - y}{x y + x^{2}}$

ステップ 4.3.2.4

$2 y$ から $y$ を引きます。

$\frac{x + y}{x y + x^{2}}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x y + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{x + y}{x (y) + x^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x + y}{x (y) + x \cdot x}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x (y) + x \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{x + y}{x (y + x)}$

ステップ 4.3.4

$x + y$ と $y + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

ステップ 4.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | x | + C$

ステップ 6

$(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 x y + y^{2}$ に $x$ をかけます。

$(3 x y + y^{2}) x d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(3 x y x + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ を移動させます。

$(3 (x \cdot x) y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4

$x y + x^{2}$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) x d y = 0$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y x + x^{2} x) d y = 0$

ステップ 6.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x$ を移動させます。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x \cdot x y + x^{2} x) d y = 0$

ステップ 6.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x) d y = 0$

ステップ 6.7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x^{1}) d y = 0$

ステップ 6.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2 + 1}) d y = 0$

ステップ 6.7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{3}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} x d x$

ステップ 8

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2} x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} x d x$

ステップ 8.2

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $3 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} x d x$

ステップ 8.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} x d x$

ステップ 8.4

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} \int x d x$

ステップ 8.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.6

簡約します。

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = 1 y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.3

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.7.5

$y^{2}$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.8

項を並べ替えます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.2

総和則では、 $y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x^{3}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.3.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.3

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.5

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.7.1

共通因数を約分します。

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.4.7.2

$x^{2} y$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 11.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3} - x^{3}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$

ステップ 12.1.3

$x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 0 - x^{2} y$

ステップ 12.1.3.2

$x^{2} y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y - x^{2} y$

ステップ 12.1.3.3

$x^{2} y$ から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 13.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

ステップ 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例