微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{2} + 2)}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 2}{y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 2}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = (3 x^{2} + 2) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int 3 x^{2} + 2 d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} + 2 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 d x$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 2 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{3} + 2 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{3} + 2 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (x^{3} + 2 x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = 2 x^{3} + 4 x + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} + 4 x + 2 K}$

ステップ 3.4

$2$ を $2 x^{3} + 4 x + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 4 x + 2 K}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 2 (2 x) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 2 (2 x) + 2 K}$

ステップ 3.4.4

$2$ を $2 (x^{3}) + 2 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3} + 2 x) + 2 K}$

ステップ 3.4.5

$2$ を $2 (x^{3} + 2 x) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

微分積分 例

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