微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x - y}$ , $y (0) = \ln (8)$

ステップ 1

$v = e^{x - y}$ とします。 $v$ を $e^{x - y}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = 2 v$

ステップ 2

$e^{x - y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 3

$v$ を $e^{x - y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 2 v$

ステップ 5

変数を分けます。

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ステップ 5.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$

ステップ 5.1.2

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.1.2.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.2.3.1.1

$\frac{2 v}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.1.2.3.1.2

$- 1 \cdot (2 v)$ を $- (2 v)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.1.2.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.1.2.3.1.4

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + 1$

ステップ 5.1.3

両辺に $v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

ステップ 5.1.4

簡約します。

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ステップ 5.1.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

ステップ 5.1.4.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = (- 2 v + 1) v$

ステップ 5.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.4.2.1

$(- 2 v + 1) v$ を簡約します。

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ステップ 5.1.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v \cdot v + 1 v$

ステップ 5.1.4.2.1.2

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

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ステップ 5.1.4.2.1.2.1

$v$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 (v \cdot v) + 1 v$

ステップ 5.1.4.2.1.2.2

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + 1 v$

ステップ 5.1.4.2.1.3

$v$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + v$

ステップ 5.2

両辺に $\frac{1}{- 2 v^{2} + v}$ を掛けます。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v^{2} + v} (- 2 v^{2} + v)$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$v$ を $- 2 v^{2} + v$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$v$ を $- 2 v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v} (- 2 v^{2} + v)$

ステップ 5.3.1.2

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}} (- 2 v^{2} + v)$

ステップ 5.3.1.3

$v$ を $v^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1} (- 2 v^{2} + v)$

ステップ 5.3.1.4

$v$ を $v (- 2 v) + v \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v + 1)} (- 2 v^{2} + v)$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$ に $- 2 v^{2} + v$ をかけます。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v^{2} + v}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 5.3.3

$v$ を $- 2 v^{2} + v$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$v$ を $- 2 v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 5.3.3.2

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v^{1}}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 5.3.3.3

$v$ を $v^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v \cdot 1}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 5.3.3.4

$v$ を $v (- 2 v) + v \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 5.3.4

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

ステップ 5.3.5

$- 2 v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

ステップ 5.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = 1 d x$

ステップ 6

両辺を積分します。

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ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = \int d x$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 6.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

$v$ を $- 2 v^{2} + v$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1.1

$v$ を $- 2 v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{v (- 2 v) + v}$

ステップ 6.2.1.1.1.2

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}}$

ステップ 6.2.1.1.1.3

$v$ を $v^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1}$

ステップ 6.2.1.1.1.4

$v$ を $v (- 2 v) + v \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$

ステップ 6.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $v (- 2 v + 1)$ です。

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.4

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5

$- 2 v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.1.2

$A (- 2 v + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (- 2 v + 1) + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A (- 2 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = - 2 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.4

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.5

$- 2 v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.5.2

$B v$ を $1$ で割ります。

$1 = - 2 A v + A + B v$

ステップ 6.2.1.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.7.1

$A$ を移動させます。

$1 = - 2 v A + A + B v$

ステップ 6.2.1.1.7.2

$B$ と $v$ を並べ替えます。

$1 = - 2 v A + A + B v$

ステップ 6.2.1.1.7.3

$A$ を移動させます。

$1 = - 2 v A + B v + A$

ステップ 6.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

式の両辺から $v$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 2 A + B$

ステップ 6.2.1.2.2

式の両辺から $v$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 6.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

ステップ 6.2.1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1.3.1

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$0 = - 2 A + B$

ステップ 6.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.1

$0 = - 2 A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.3

$0 = - 2 + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.1

方程式を $- 2 + B = 0$ として書き換えます。

$- 2 + B = 0$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = 2 A = 1$

ステップ 6.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = 2, A = 1$

ステップ 6.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 2 v + 1}$

ステップ 6.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.5.1

$- 1$ を $- 2 v$ で因数分解します。

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) + 1}$

ステップ 6.2.1.5.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.1.5.3

$- 1$ を $- (2 v) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v - 1)}$

ステップ 6.2.1.5.4

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.5.4.1

$- (2 v - 1)$ を $- 1 (2 v - 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 1 (2 v - 1)}$

ステップ 6.2.1.5.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{v} - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.4

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.5

$2$ は $v$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| v |) + C_{1} - (2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v) = \int d x$

ステップ 6.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.7

$u_{2} = 2 v - 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d v$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.7.1

$u_{2} = 2 v - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1.1

$2 v - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

ステップ 6.2.7.1.2

総和則では、 $2 v - 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

ステップ 6.2.7.1.3

$\frac{d}{d v} [2 v]$ の値を求めます。

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ステップ 6.2.7.1.3.1

$2$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $2 v$ の微分係数は $2 \frac{d}{d v} [v]$ です。

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

ステップ 6.2.7.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

ステップ 6.2.7.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

ステップ 6.2.7.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1.4.1

$- 1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 6.2.7.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 6.2.7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.8.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.9

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

ステップ 6.2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.10.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.10.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.10.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.10.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.10.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.10.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.10.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.10.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.11

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

ステップ 6.2.12

簡約します。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

ステップ 6.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

ステップ 7

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

ステップ 7.2

$x$ と $C$ を並べ替えます。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

ステップ 7.3

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

ステップ 7.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

ステップ 7.5

$v$ について解きます。

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ステップ 7.5.1

方程式を $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ として書き換えます。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

ステップ 7.5.2

両辺に $| u_{2} |$ を掛けます。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

ステップ 7.5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$| u_{2} |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

ステップ 7.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

ステップ 7.5.4

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.1

$e^{C + x} | u_{2} |$ の因数を並べ替えます。

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

ステップ 7.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

ステップ 8

定数項をまとめます。

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ステップ 8.1

項を並べ替えます。

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

ステップ 8.2

$e^{x + C}$ を $e^{x} e^{C}$ に書き換えます。

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

ステップ 8.3

$e^{x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

ステップ 8.4

定数を正または負でまとめます。

$v = C | u_{2} | e^{x}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $e^{x - y}$ で置き換えます。

$e^{x - y} = C | u_{2} | e^{x}$

ステップ 10

$y$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

ステップ 10.2

左辺を展開します。

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ステップ 10.2.1

$x - y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x - y})$ を展開します。

$(x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

ステップ 10.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

ステップ 10.2.3

$x - y$ に $1$ をかけます。

$x - y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

ステップ 10.3

右辺を展開します。

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ステップ 10.3.1

$\ln (C | u_{2} | e^{x})$ を $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ に書き換えます。

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

ステップ 10.3.2

$\ln (C | u_{2} |)$ を $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ に書き換えます。

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

ステップ 10.3.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

ステップ 10.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

ステップ 10.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

ステップ 10.4

右辺を簡約します。

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ステップ 10.4.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + x$

ステップ 10.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.5.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

ステップ 10.5.2

$\ln (C | u_{2} |) + x - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.5.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

ステップ 10.5.2.2

$\ln (C | u_{2} |)$ と $0$ をたし算します。

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

ステップ 10.6

$- y = \ln (C | u_{2} |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.6.1

$- y = \ln (C | u_{2} |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

ステップ 10.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

ステップ 10.6.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

ステップ 10.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.3.1

$\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

ステップ 10.6.3.2

$- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ を $- \ln (C | u_{2} |)$ に書き換えます。

$y = - \ln (C | u_{2} |)$

ステップ 11

初期条件を利用し、 $y = - \ln (C | u_{2} |)$ の $0$ を $x$ に、 $\ln (8)$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$\ln (8) = - \ln (C | u_{2} |)$

ステップ 12

$C$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式を $- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$ として書き換えます。

$- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$

ステップ 12.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (C | u_{2} |)$ を簡約します。

$\ln ({(C | u_{2} |)}^{- 1}) = \ln (8)$

ステップ 12.3

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

${(C | u_{2} |)}^{- 1} = 8$

ステップ 12.4

$C$ について解きます。

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ステップ 12.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$

ステップ 12.4.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 12.4.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$C | u_{2} |, 1$

ステップ 12.4.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$C | u_{2} |$

ステップ 12.4.3

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ の各項に $C | u_{2} |$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 12.4.3.1

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ の各項に $C | u_{2} |$ を掛けます。

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

ステップ 12.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.3.2.1

$C | u_{2} |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

ステップ 12.4.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 8 (C | u_{2} |)$

ステップ 12.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.3.3.1

括弧を削除します。

$1 = 8 C | u_{2} |$

ステップ 12.4.4

方程式を解きます。

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ステップ 12.4.4.1

方程式を $8 C | u_{2} | = 1$ として書き換えます。

$8 C | u_{2} | = 1$

ステップ 12.4.4.2

$8 C | u_{2} | = 1$ の各項を $8 | u_{2} |$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.4.4.2.1

$8 C | u_{2} | = 1$ の各項を $8 | u_{2} |$ で割ります。

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

ステップ 12.4.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.4.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

ステップ 12.4.4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

ステップ 12.4.4.2.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

ステップ 13

$\frac{1}{8 | u_{2} |}$ を $y = - \ln (C | u_{2} |)$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{8 | u_{2} |}$ を $C$ に代入します。

$y = - \ln (\frac{1}{8 | u_{2} |} | u_{2} |)$

ステップ 13.2

$| u_{2} |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$| u_{2} |$ を $8 | u_{2} |$ で因数分解します。

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

ステップ 13.2.3

式を書き換えます。

$y = - \ln (\frac{1}{8})$

微分積分 例

微分積分例