微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{2 e^{y}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $e^{y}$ を掛けます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 x^{3}}{2 e^{y}}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$e^{y}$ を $2 e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 x^{3}}{e^{y} \cdot 2}$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 x^{3}}{e^{y} \cdot 2}$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{2}$

ステップ 1.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (2 x^{3})}{2}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)}$

ステップ 1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

ステップ 1.2.2.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$e^{y} d y = 2 x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y} d y = \int 2 x^{3} d x$

ステップ 2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x^{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x^{3} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = \frac{1}{2} x^{4} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{4}}{2} + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{4}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{4}}{2} + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x^{4}}{2} + K)$

微分積分 例

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