微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $e^{y}$ を掛けます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

ステップ 1.2

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

ステップ 2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.5.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$

微分積分 例

微分積分例