微分積分例

$\frac{d s}{d t} = t^{- \frac{3}{2}}$ , $s (4) = - 1$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

べき乗則では、 $t^{- \frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ です。

$s + C_{1} = - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ を $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ に書き換えます。

$s + C_{1} = - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

ステップ 2.3.2.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$s + C_{1} = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ の $4$ を $t$ に、 $- 1$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 1 = - \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$ として書き換えます。

$- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

ステップ 4.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

ステップ 4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{2^{1}} + K = - 1$

ステップ 4.2.1.4

指数を求めます。

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

ステップ 4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

ステップ 4.2.2.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + K = - 1$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + K = - 1$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$K = - 1 + 1$

ステップ 4.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$K = 0$

ステップ 5

$0$ を $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ を $K$ に代入します。

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 5.2

$- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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