微分積分例

$(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x y - 2 a y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - 2 a y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 x y - 2 a y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 2 a$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 a y^{2}$ の微分係数は $- 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a (2 y)$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 4 a y$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 a y + 3 x$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} - 2 a y x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a y x]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 a y x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2 a y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 a y x$ の微分係数は $- 2 a y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 a y + 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 4 a y + 3 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 a y + 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 4 a y + 3 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 4 a y + 3 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 2 a y + 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} - 2 a y x$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} - 2 a y x$ を $N$ に代入します。

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

ステップ 4.3.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

ステップ 4.3.2.4

$- 4 a y$ と $2 a y$ をたし算します。

$\frac{- 2 a y + 3 x - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

ステップ 4.3.2.5

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 2 a y + x}{x^{2} - 2 a y x}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x^{2} - 2 a y x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x - 2 a y x}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $- 2 a y x$ で因数分解します。

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x + x (- 2 a y)}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 a y)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 a y + x}{x (x - 2 a y)}$

ステップ 4.3.4

$- 2 a y + x$ と $x - 2 a y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

ステップ 4.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | x | + C$

ステップ 6

$(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 x y - 2 a y^{2}$ に $x$ をかけます。

$(3 x y - 2 a y^{2}) x d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(3 x y x - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ を移動させます。

$(3 (x \cdot x) y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

ステップ 6.4

$x^{2} - 2 a y x$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) x d y = 0$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

ステップ 6.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

ステップ 6.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

ステップ 6.6.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

ステップ 6.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$x$ を移動させます。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y (x \cdot x)) d y = 0$

ステップ 6.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x^{2}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x d x$

ステップ 8

$M (x, y) = 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

ステップ 8.2

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $3 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

ステップ 8.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 a y^{2} x d x$

ステップ 8.4

$- 2 a y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2 a y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} \int x d x$

ステップ 8.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.6

簡約します。

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = 1 y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.3

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 8.7.4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.7.5

$- 2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + a y^{2} \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.7.6

$a$ と $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{a (- 2 x^{2})}{2} + C$

ステップ 8.7.7

$y^{2}$ と $\frac{a (- 2 x^{2})}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} (a (- 2 x^{2}))}{2} + C$

ステップ 8.7.8

括弧を削除します。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- 2 x^{2})}{2} + C$

ステップ 8.7.9

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.9.1

$2$ を $y^{2} a (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2} + C$

ステップ 8.7.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

ステップ 8.7.9.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 8.7.9.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- x^{2})}{1} + C$

ステップ 8.7.9.2.4

$y^{2} a (- x^{2})$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.2

総和則では、 $y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x^{3}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.3.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$a \cdot - 1 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{2} a (- x^{2})$ の微分係数は $a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.4.3

$- 1$ を $a$ の左に移動させます。

$x^{3} - 1 \cdot a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.4.4

$- 1 a$ を $- a$ に書き換えます。

$x^{3} - a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 11.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $2 x^{2} a y$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$

ステップ 12.1.3

$x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 0 + 2 x^{2} a y$

ステップ 12.1.3.2

$- 2 a y x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 2 x^{2} a y$

ステップ 12.1.3.3

$- 2 a y x^{2}$ と $2 x^{2} a y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{2} a y + 2 x^{2} a y$

ステップ 12.1.3.4

$- 2 x^{2} a y$ と $2 x^{2} a y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 13.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

ステップ 15

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} a x^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例