微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} = e^{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (e^{x} - \frac{1}{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$y + C_{1} = e^{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = e^{x} - \ln (| x |) + C$

微分積分 例