微分積分例

$\frac{d y}{d t} - 2 t y = 0$

ステップ 1

$P (t) = - 2 t$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 t d t}$

ステップ 1.2

$- 2 t$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 \int t d t}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2

簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{- 2}{2} t^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{- 1}{1} t^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- t^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- t^{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- t^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{- t^{2}}$ を掛けます。

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- t^{2}} (- 2 t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{- t^{2}}$ に $0$ をかけます。

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$

ステップ 2.4

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 t y e^{- t^{2}} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] d t = \int 0 d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- t^{2}} y = \int 0 d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $t$ に関する積分は $0$ です。

$e^{- t^{2}} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- t^{2}} y = C$

ステップ 7

$e^{- t^{2}} y = C$ の各項を $e^{- t^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{- t^{2}} y = C$ の各項を $e^{- t^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- t^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

微分積分 例

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