微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} = 2 x$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 x^{2}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (2 x - 3 x^{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.5.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = x^{2} - x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - x^{3} + x^{2} + K$

微分積分 例

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