微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{y + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y + 1$ を掛けます。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x - 2}{y + 1}$

ステップ 1.2

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x - 2}{y + 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x - 2$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(y + 1) d y = (x - 2) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y + 1 d y = \int x - 2 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int d y = \int x - 2 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x - 2 d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x - 2 d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x - 2 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x + \int - 2 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 2 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - 2 x + C_{5}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + K$

ステップ 3.3

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{2}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = - 2 x + K$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} + 2 x = K$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} + 2 x - K = 0$

ステップ 3.4

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2

簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 4 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 4 x - 2 K = 0$

ステップ 3.4.3

$2 y$ を移動させます。

$y^{2} - x^{2} + 4 x - 2 K + 2 y = 0$

ステップ 3.4.4

$4 x$ を移動させます。

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 4 x + 2 y = 0$

ステップ 3.4.5

$y^{2}$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 4 x + 2 y = 0$

ステップ 3.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - x^{2} - 2 K + 4 x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K + 4 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K + 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K + 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4

簡約します。

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ステップ 3.7.1.4.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4.2

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4.3

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 16 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5

$4$ を $4 + 4 x^{2} + 8 K - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.1.5.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K - 16 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5.2

$4$ を $8 K$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) - 16 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5.3

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5.4

$4$ を $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5.5

$4$ を $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5.6

$4$ を $4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6

$4 (1 + x^{2} + 2 K - 4 x)$ を $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K - 4 x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.7.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K - 4 x}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K - 4 x}$

微分積分 例

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