微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x + 7}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

ステップ 1.3.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y^{2}$ を $(x + 7) y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x + 7$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = x + 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$x + 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.3.1.1.4

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

ステップ 3.3

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x + 7 |)$ を簡約します。

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$

微分積分 例

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