微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ を分解し簡約します。

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ステップ 1.1.1

分数 $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ を $y x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

ステップ 1.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

ステップ 1.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{y}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$V^{2} + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$V^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{V^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

ステップ 6.1.3.2

$V^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$V^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

${(V^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

べき乗則では、 $V^{- 2}$ の $V$ に関する積分は $- V^{- 1}$ です。

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$- V^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{V} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$V, 1, 1$

ステップ 6.3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$V$

ステップ 6.3.2

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ の各項に $V$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.3.2.1

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ の各項に $V$ を掛けます。

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$V$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1.1

$- \frac{1}{V}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

ステップ 6.3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

ステップ 6.3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.3.1

$\ln (| x |) V + C V$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

ステップ 6.3.3

方程式を解きます。

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ステップ 6.3.3.1

方程式を $V \ln (| x |) + C V = - 1$ として書き換えます。

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

ステップ 6.3.3.2

$V$ を $V \ln (| x |) + C V$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$V$ を $C V$ で因数分解します。

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

ステップ 6.3.3.2.2

$V$ を $V \ln (| x |) + V C$ で因数分解します。

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

ステップ 6.3.3.3

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$ の各項を $\ln (| x |) + C$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.3.3.1

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$ の各項を $\ln (| x |) + C$ で割ります。

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 6.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.2.1

$\ln (| x |) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 6.3.3.3.2.1.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 6.3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ を解きます。

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ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$x$ と $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$

微分積分 例

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