微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

ステップ 1.3.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{5 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{5}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

ステップ 2

$P (x) = \frac{5}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{5}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{5 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{5})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{5}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{5}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x^{5}$ を掛けます。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{5}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

ステップ 3.3

$3$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ を $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ に書き換えます。

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

ステップ 7.3.2.2

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

ステップ 7.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

ステップ 7.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

ステップ 7.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

ステップ 8

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ の各項を $x^{5}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ の各項を $x^{5}$ で割ります。

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$x^{6}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$x^{5}$ を $\frac{1}{2} x^{6}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$\frac{1}{2} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

ステップ 8.3.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$

微分積分 例

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